Question

已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的两个根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）计算：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于实系数一元二次方程x²+px+q=0仍然满足韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），我们易根据2+ai，b+i是实系数一元二次方程x²+px+q=0在复数范围内的两个根，构造关于p，q的方程，解方程即可求出a，b，p，q的值．
（2）根据a，b，p，q的值，利用复数的乘除运算法则，能够计算的值．
解答：解：（1）∵2+ai，b+i（其中a，b∈R）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的两个根，
∴，
即，
∴，
解得a=-1，b=2，
∴p=-4，q=5，
故b=2，a=-1，p=-4，q=5．（每一个值2分）…（8分）
（2）∵b=2，a=-1，p=-4，q=5，
∴=．…（6分）
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，复数的基本概念，其中根据实系数一元二次方程仍然满足韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），结合已知条件构造关于p，q的方程，是解答本题的关键．