Question

观察下列式子：
1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…
据以上式子可以猜想：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

20152

＜

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

，将n=2015，代入可得答案．

解答： 解：由已知中的不等式：
1+

1

22

＜

3

2

=

2×2-1

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

=

2×3-1

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

=

2×4-1

4

…
我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，
即1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

，
∴1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

20152

＜

4029

2015

．
故答案为：

4029

2015

．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．