Question

【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，

（1）求线段PQ的长度；
（2）求证PQ⊥AD；
（3）求证：PQ∥平面CDD1C1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在AD上取点E，使得DE：EA=5：12，

∵D1P：PA=DQ：QB=5：12，

∴PE∥DD1，EQ∥AB，

∴PE⊥AD，EQ⊥AD

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，

∴PE= ，EQ= ，

∴PQ= =

（2）证明：∵PE⊥AD，EQ⊥AD，PE∩EQ=E，

∴AD⊥平面PEQ，

∵PQ平面PEQ，

∴PQ⊥AD

（3）证明：∵PE∥DD1，PE平面CDD1C1，DD1平面CDD1C1，

∴PE∥平面CDD1C1，

同理EQ∥平面CDD1C1，

∵PE∩EQ=E，

∴平面PEQ∥平面CDD1C1，

∵PQ平面PEQ，

∴PQ∥平面CDD1C1．

【解析】（1）在AD上取点E，使得DE：EA=5：12，可得PE= ，ED= ，利用勾股定理，求出线段PQ的长度；（2）证明AD⊥平面PEQ，可得PQ⊥AD；（3）证明平面PEQ∥平面CDD1C1 ， 可得PQ∥平面CDD1C1 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解棱柱的结构特征的相关知识，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形，以及对空间中直线与直线之间的位置关系的理解，了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．