Question

【题目】已知椭圆，过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过右焦点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据通径可求过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，再由椭圆的离心率为及椭圆解得a、b，可得椭圆方程；

（2）依题意，得直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆联立利用韦达定理可得线段的中点为，可得线段的垂直平分线的方程为，代入解得或，由此得出直线的方程.

（1）过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，

，解得，.

椭圆的标准方程为.

（2）依题意，得直线的斜率存在且不为0，，

设直线的方程为，，，

由，得.

可得，

，，

线段的中点为.

线段的垂直平分线的方程为

.

令，得.

，解得或.

直线的方程为或.