Question

18．已知x＞0，y＞0，且x+y=1．
（1）证明：$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥9；
（2）求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由乘1法可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$），展开再由基本不等式，即可得证；
（2）由（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，当且仅当a=b取得等号．可得a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，即可得到$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$的最大值．

解答 解：（1）证明：由x＞0，y＞0，且x+y=1，
可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，
当且仅当y=2x=$\frac{2}{3}$取得等号．
故$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥9；
（2）由（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，当且仅当a=b取得等号．
可得a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
即有$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$≤$\sqrt{2（2x+1+2y+1）}$
=$\sqrt{2（2+2）}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时，取得最大值，且为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：证明不等式和求最值，注意运用乘1法和不等式a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，是解题的关键，属于中档题．