Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线y=x+$\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相较于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，设出两交点A，B的坐标，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，由以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点得到$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=0，代入向量坐标后结合根与系数关系得到k与m的关系，进一步由直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答 （Ⅰ）解：由题意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}=b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
知椭圆C的右顶点为M（2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
且△=3+4k²-m²，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$．
而AM⊥BM，即$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=0$，
∴（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0，得$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（km-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}+4=0$，
∴（1+k²）•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$-（mk-2）•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0，即（m+2k）（7m+2k）=0，
当m=-2k时，l：y=k（x-2）过定点（2，0）为右顶点，与已知矛盾；
当m=-$\frac{2}{7}$k时，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$）过定点（$\frac{2}{7}$，0），此时△=3+4k²-m²＞0；
综上知，直线l过定点（$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，是高考试卷中的压轴题．