Question

（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA₁＝，D是A₁B₁中点．

（1）求证：C₁D⊥AB₁ ；
（2）当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论.

Answer 1

（1）C₁D⊥平面AA₁B₁B．（2）点F为的中点.

试题分析：（1）证明：如图，

∵ ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴ A₁C₁＝B₁C₁＝1，且∠A₁C₁B₁＝90°．
又 D是A₁B₁的中点，∴ C₁D⊥A₁B₁．-------------3分
∵ AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D平面A₁B₁C₁，
∴ AA₁⊥C₁D，∴ C₁D⊥平面AA₁B₁B．
∴C₁D⊥AB₁-----------------------------------6分
（2）解：作DF⊥AB₁交AB₁于E，DF交BB₁于F，连结C₁F，
又由（1）C₁D⊥AB₁
则AB₁⊥平面C₁DF，点F即为所求．---------------------9分
连∵  即四边形为正方形.
∴  
∴∥又D是A₁B₁的中点，点F为的中点.------------12分
点评：①本题主要考查了空间的线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。②我们要熟练掌握正棱柱、直棱柱的结构特征。正棱柱：底面是正多边形，侧棱垂直底面。直棱柱：侧棱垂直底面。