Question

a为何值时，对区间[0，3]的任意实数x，不等式log(2a2-1)(2x+2)＜-1恒成立．

Answer 1

分析：由0≤x≤3⇒2≤2+2x≤8，由对数函数的性质可知，0＜2a²-1＜1，且2x+2＞

1

2a2-1

在x∈[0，3]时恒成立，通过构造函数h（x）=

1

2x+2

，利用其单调性可求得h（x）_max=h（0）=

1

2

，从而可求得a的取值范围．

解答：解：∵0≤x≤3，
∴2≤2+2x≤8，
又log(2a2-1)(2x+2)＜-1＜0，
∴0＜2a²-1＜1，
∴

1

2

＜a²＜1①
∵又当x∈[0，3]时，log(2a2-1)(2x+2)＜-1=log(2a2-1)

1

2a2-1

恒成立，
由对数函数y=log_tx（0＜t＜1）单调递减的性质得：
2x+2＞

1

2a2-1

在x∈[0，3]时恒成立
∴2a²-1＞

1

2x+2

（0≤x≤3）恒成立，
令h（x）=

1

2x+2

，显然h（x）=

1

2x+2

在区间[0，3]上单调递减，
∴h（x）_max=h（0）=

1

2

，
∴2a²-1＞

1

2

②
由①②得

3

4

＜a²＜1，
解得-1＜a＜-

3

2

或

3

2

＜a＜1．
∴实数a的取值范围为（-1，-

3

2

）∪（

3

2

，1）．

点评：本题考查对数不等式的解法，着重考查对数函数的性质与恒成立问题，考查构造函数思想与转化思想的综合应用，属于中档题．