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已知函数f(x)=log3(ax+b)图象过点A(2,1)和B(5,2),设an=3f(n),n∈N*
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式对一切n∈N*均成立的最大实数a;
(Ⅲ)对每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入2k-1个2,得到新数列:a1,2,a2,2,2,a3,2,2,2,2,a4,…,记为{bn},设Tn是数列{bn}的前n项和,试问是否存在正整数m,使Tm=2008?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)直接把点A(2,1)和B(5,2)的坐标代入函数方程求出a,b的值,即可求函数f(x)的解析式及数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)先把问题转化为对n∈N*均成立,再记,相邻两相作商得到其单调行,进而求出其最小值即可得到最大实数a;
(Ⅲ)先根据条件求出am及其前面所有项之和的表达式,再根据102+210-2=1122<2008<112+211-2=2167,即a10<2008<a11,即可找到满足条件的m的值.
解答:解:(Ⅰ)由已知,得解得:
…(2分)
.n∈N*
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1…(4分)
(Ⅱ)由题意对n∈N*均成立…(5分)


∵F(n)>0,∴F(n+1)>F(n)
∴F(n)随着n的增大而增大…(7分)
而F(n)的最小值为
∴a≤,即a的最大值为…(8分)
(Ⅲ)∵an=2n-1
∴在数列{bn}中,am及其前面所有项之和为[1+3+5+…+(2m-1)]+(2+22+…+2m-1)=m2+2m-2…(10分)
∵102+210-2=1122<2008<112+211-2=2167
即a10<2008<a11…(11分)
又a10在数列{bn}中的项数为:10+1+2+…+28=521…(12分)
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整数m=521+443=964,使得Sm=2008…(14分)
点评:本题综合考查了数列与函数的知识.解决第三问的关键在于求出am及其前面所有项之和的表达式,并通过计算得到102+210-2=1122<2008<112+211-2=2167,即a10<2008<a11从而使问题得到解决.
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