[题目]在锐角三角形ABC 中.角 A.B.C 的对边分别为 a.b.c．若a=2bsinC.则tanA+tanB+tanC的最小值是( )A.4B.C.8D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】在锐角三角形ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若a=2bsinC，则tanA+tanB+tanC的最小值是（）
A.4
B.
C.8
D.

【答案】C
【解析】解：在锐角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC． ∵a=2bsinC，∴sinA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，
化简可得tanB+tanC=2tanBtanC ①．
∵tanA=﹣tan（B+C）= ，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ②，
则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC= tanBtanC，令tanBtanC﹣1=m，
则则tanA+tanB+tanC= （m+1）= （m+1）= （m+1）= =4+2m+ ≥4+2 =8，
当且仅当2m= ，即m=1时，取等号，此时，tanBtanC=2，
故tanA+tanB+tanC的最小值是8，
故选：C．
【考点精析】掌握两角和与差的正切公式是解答本题的根本，需要知道两角和与差的正切公式：．

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B.

C.

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