Question

定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈R，则=a（）²+-（+）=-
∵a＞0，，∴
∴
∴
∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）解：由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0时，则a∈R恒成立，
（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥--且a≤-+
∴a≥--=-（+）²+且a≤-+=（-）²-，
∵0＜x≤1，∴≥1．
∴当=1时，-（+）²+的最大值为-（1+）²+=-2，（-）²-的最小值为（1-）²-=0
∴0≥a≥-2．
综（i）（ii）知，0≥a≥-2
分析：（1）利用函数f（x）的解析式，根据凹函数定义即可验证；
（2）由|f（x）|≤1表示出关于a的不等式，利用分离参数法，根据x的取值范围进行分析可得答案．
点评：本题考查新定义--凹函数，考查学生对新定义的理解，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．