如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据题中的已知条件列有关的方程,求出
,然后根据离心率求出
,最后再根据
、
、
三者之间的关系求出
的值,从而确定椭圆
的方程;(Ⅱ)先设点
的坐标
,然后根据已知条件将直线
的方程用
进行表示,再联立直线
与椭圆
的方程,结合韦达定理将
表示为含
为代数式,然后再利用不等式的性质求出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设F2(c,0),则=
,所以c=1.
因为离心率e=,所以a=
.
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(
,0)、Q(
,0),
.
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(-,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由 得(x1+x2)+2(y1+y2)
=0,
则-1+4mk=0,故k=.
此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为
.即
.
联立 消去y,整理得
.
所以,
.
于是(x1-1)(x2-1)+y1y2
.
令t=1+32m2,1<t<29,则.
又1<t<29,所以.
综上,的取值范围为
.
考点:椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理
科目:高中数学 来源: 题型:
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2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
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2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
F2P |
F2Q |
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省临海市高三第三次模拟理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西南昌10所省高三第二次模拟突破冲刺理科数学(一)(解析版) 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆
C:(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M在直线l上,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省高三高考模拟测试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.
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