Question

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为l₁，l₂，直线l：

x

c

+

y

b

=1分别与l₁，l₂交于A，B，若线段AB中点横坐标为-c，则双曲线Γ的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意l₁，l₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=0，与直线l：

x

c

+

y

b

=1联立，利用韦达定理，结合线段AB中点横坐标为-c，即可求出双曲线Γ的离心率．

解答： 解：依题意l₁，l₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=0
联立

x2 a2 - y2 b2 =0 x c + y b =1

，消去y得(

1

a2

-

1

c2

)x2+

2

c

x-1=0，即

b2

a2c2

x2+

2

c

x-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

2a2c

b2

，
∵线段AB中点横坐标为-c，∴x1+x2=-

2a2c

b2

=-2c，
∴a²=b²，故双曲线Γ的离心率为

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．