Question

【题目】如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．

（1）求证：GF∥平面ABC；

（2）求证：平面DAC⊥平面EBC.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接AE，证明GF∥AC，然后通过直线与平面平行的判定定理，证明GF∥平面ABC；

（2）由四边形ADEB为正方形，证得EB⊥AB，得出以BE⊥AC，证得AC⊥平面EBC，进而得到平面DAC⊥平面EBC.

（1）连接AE，

因为四边形ADEB为正方形，所以AE∩BD＝F，且F是AE的中点，

因为G是EC的中点，所以GF∥AC.

又AC平面ABC，GF平面ABC，所以GF∥平面ABC.

（2）因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB，

又因为平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE平面ABED，

所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC，

因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC，

又因为BC∩BE＝B，BC，BE平面EBC，所以AC⊥平面EBC，

因为AC平面DAC，

所以平面DAC⊥平面EBC.