Question

12．已知函数f（x）=（x+2）²|x-a|-4（x∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值点；
（2）若函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，函数f（x）=（x+2）²|x-1|-4=$\left\{\begin{array}{l}（x+2）^{2}（1-x）-4，x≤1\\（x+2）^{2}（x-1）-4，x＞1\end{array}\right.$，分段求出函数的极值点，可得答案；
（2）对a值进行分类讨论，求出不出情况下，满足函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增的a的范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=（x+2）²|x-1|-4=$\left\{\begin{array}{l}（x+2）^{2}（1-x）-4，x≤1\\（x+2）^{2}（x-1）-4，x＞1\end{array}\right.$，
①当x≤1时，f′（x）=-3x²-6x，令f′（x）=0，则x=0，或x=-2，
当x＜-2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当-2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当0＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
此时函数的极小值点-2，极大值点为0；
②当x＞1时，f′（x）=3x²+6x，令f′（x）=0，则x=0，或x=-2，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
即1是函数的极小值点，
综上函数f（x）的极值点有：-2，0，1；
（2）函数f（x）=（x+2）²|x-a|-4=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）}^{2}（a-x）-4，x≤a\\{（x+2）}^{2}（x-a）-4，x＞a\end{array}\right.$，
①若a≤-2，则x∈[-2，1]时，f（x）=（x+2）²（x-a）-4，
∵f′（x）=3x²+（8-2a）x+（4-4a），
此时x=$\frac{a-4}{3}$≤-2，f′（-2）=0，
故f′（x）=3x²+（8-2a）x+（4-4a）≥0恒成立，
故满足函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，
②若-2＜a＜1，
则x∈[-2，a]时，f（x）=（x+2）²（a-x）-4，
∵f′（x）=-[3x²+（8-2a）x+（4-4a）]，
x∈[a，1]时，f（x）=（x+2）²（x-a）-4，
∵f′（x）=3x²+（8-2a）x+（4-4a），
若函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}\frac{a-4}{3}≥a\\ \frac{a-4}{3}≤\frac{a-2}{2}\end{array}\right.$
此时不存在满足条件的a值；
③若a≥1，则x∈[-2，1]时，f（x）=（x+2）²（a-x）-4，
∵f′（x）=-[3x²+（8-2a）x+（4-4a）]，
此时x=$\frac{a-4}{3}$≤-2，f′（-2）=0，
故f′（x）=-[3x²+（8-2a）x+（4-4a）]≤0恒成立，
故不满足函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增．
综上所述，a≤-2，

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法确定函数的极值和单调性，难度比较大．