Question

如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.

Answer 1

解析:

解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin.

解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，

平面PAD⊥平面ABCD

                    

CD⊥AD，BA⊥AD

BA⊥平面PAD

              

CD⊥平面PAD

△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S_△PDA＝S_△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2.

∴△PAD为等腰三角形且S_△PAD＝PD·AH＝15.

cosθ＝＝＝，

θ＝arccos＝.