Question

已知x∈R，函数f（x）=x+

a

x+1

（x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：函数f（x）=x+

a

x+1

（x∈[0，+∞）），求函数f（x）的最小值，探讨函数的单调性，根据函数的单调性求得函数的最小值；而函数的单调性与参数a的取值有关，因此要对a取值进行分类讨论．

解答：解：设x₁、x₂是[0，+∞）内任意两个实数，且x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a

x1 +1

-x₂-

a

x2+1

=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=（x₁-x₂）（1-

a

(x1+1)( x2+1)

）．
（i）当a＜1时，
1-

a

(x1+1)( x2+1)

=

x1x2+x1+x2+1-a

(x1+1)(x2+1)

＞0，（x₁-x₂）（1-

a

(x1+1)( x2+1)

）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
因此，f（x）在[0，+∞）上时单调递增函数，故（f（x））_min=f（0）=a．
（ii）当a≥1时，
f（x）=x+

a

x+1

=（x+1）+

a

x+1

-1≥2

a

-1．
当且仅当x+1=

a

x+1

，即x=

a

-1（

a

-1∈[0，+∝））时，等号成立．
于是，（f（x））_min=f（

a

-1）=2

a

-1．
所以，（f（x））_min=

a(a＜1) 2 a -1(a≥1)

．

点评：考查了应用函数单调性的定义探讨函数的单调性，注意：设x₁、x₂是[0，+∞）内任意两个实数，体现了分类讨论的数学思想；应用函数的单调性求函数的最值也是常考的知识点，属难题．