Question

【题目】某同学在独立完成课本上的例题：“求证： + ＜2 ”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立． + ＜2
+ ＜2
+ ＜2
+ ＜2 ，
+ ≤2 ．
（1）请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式；（用字母表示）
（2）请用合适的方法证明你写出的不等式成立．

Answer 1

【答案】
（1）解： + ≤2 （x，y≥0），

等号当且仅当x=y时成立

（2）证明：运用分析法证明．

要证 + ≤2 （x，y≥0），

两边平方即证x+y+2 ≤2（x+y），

即为x+y﹣2 ≥0，

即有（ ﹣ ）2≥0，

上式显然成立，且当且仅当x=y取得等号

【解析】（1）由已知不等式，可得 + ≤2 （x，y≥0），x=y时取得等号；（2）运用分析法证明，通过两边平方和完全平方公式，即可得证．
【考点精析】通过灵活运用不等式的证明，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．