Question

是否存在锐角α，β，使得下列两式：①α+2β=

2π

3

；②tan

α

2

?tanβ=2-

3

同时成立？若存在，求出α和β；若不存在，说明理由？

Answer 1

分析：由条件可得 tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，根据α，β为锐角，求出α，β 的值．

解答：解：由α+2β=

2π

3

得：

α

2

+β=

π

3

，tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=

3

．
将②式代入得：tan

α

2

+tanβ=3-

3

，与②式联立，解得：tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，
或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1．
当tan

α

2

=1时，因为0＜

α

2

＜

π

4

，这样的角α不存在，故只能是tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
因为α，β均为锐角，所以α=

π

6

，β=

π

4

．
综上，存在锐角α=

π

6

，β=

π

4

，使得①，②同时成立．

点评：本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，得到tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，是解题的关键．