对于函数f(x)＝ax2.若存在实数x0.使f(x0)＝x0成立.则称x0为f(x)的不动点． (1)当a＝2.b＝-2时.求f(x)的不动点, (2)若对于任何实数b.函数f(x)恒有两相异的不动点.求实数a的取值范围, 的条件下.若y＝f(x)的图象上A.B两点的横坐标是函数f(x)的不动点.且直线y＝kx+是线段AB的垂直平分线.求实数b� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于函数f(x)＝ax²(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x₀，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．

(1)当a＝2，b＝－2时，求f(x)的不动点；

(2)若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线y＝kx＋是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

答案：
解析：

　　解：∵f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，

　　(1)当a＝2，b＝－2时，f(x)＝2x²－x－4．

　　设x为其不动点，即2x²－x－4＝x．

　　则2x²－2x－4＝0．

　　∴x₁＝－1，x₂＝2．即f(x)的不动点是－1，2．

　　(2)由f(x)＝x得ax²＋bx＋b－2＝0．

　　由已知，此方程有相异二实根，Δ_a＞0恒成立，即b²－4a(b－2)＞0．

　　即b²－4ab＋8a＞0对任意b∈R恒成立．

　　∴Δ_b＜0，∴16a²－32a＜0．

　　∴0＜a＜2．

　　(3)设A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)，

提示：

　　分析：(1)将a、b之值代入f(x)，则f(x)为具体函数，根据题意，只需解方程f(x)＝x，其根即为不动点；(2)要考虑用判别式及恒成立问题来处理；(3)涉及到关于点、线的对称问题，可借助于解析法(坐标法)解决．

　　解题心得：本题是2002年上海春招试题的改编题，第(1)问是很容易的，只要理解了“不动点”，即f(x)＝x的根，余下的便是解方程问题；对于ax²＋bx＋c＞0，x∈R恒成立问题，即是可转化为解不等式(组)；第(3)问题解决的切入点是线段AB的中点在直线上．因为要求b的范围，故将b视为a的函数，利用均值定理求得b的最小值．

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