【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.(12分)
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.
【答案】
(1)
解:根据椭圆的对称性,P3(﹣1, ),P4(1, )两点必在椭圆C上,
又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),
∴P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )三点在椭圆C上.
把P2(0,1),P3(﹣1, )代入椭圆C,得:
,解得a2=4,b2=1,
∴椭圆C的方程为 =1.
(2)
证明:①当斜率不存在时,设l:x=m,A(m,yA),B(m,﹣yA),
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,
∴ = = =﹣1,
解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
②当斜率存在时,设l:y=kx+b,(b≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 ,整理,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,
,x1x2= ,
则 = =
= = =﹣1,又b≠1,
∴b=﹣2k﹣1,此时△=﹣64k,存在k,使得△>0成立,
∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1,
当x=2时,y=﹣1,
∴l过定点(2,﹣1).
【解析】(1.)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(﹣1, )代入椭圆C,求出a2=4,b2=1,由此能求出椭圆C的方程.
(2.)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l:y=kx+b,(b≠1),联立 ,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,﹣1).
【考点精析】本题主要考查了斜截式方程和椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握直线的斜截式方程:已知直线的斜率为,且与轴的交点为则:;椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.
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【题目】有一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线构成,如图所示.为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度;
(2)现有一辆载重汽车宽米,高米,试判断该车能否安全通过隧道?
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【题目】在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,SD底面ABCD,SD=2,其中分别是的中点,是上的一个动点.
(1)当点落在什么位置时,∥平面,证明你的结论;
(2)求三棱锥的体积.
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(2)求的取值范围.
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A.A∩B={x|x< }
B.A∩B=?
C.A∪B={x|x< }
D.AUB=R
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(1)求通项an;
(2)设bn=an﹣n﹣4,求数列{|bn|}的前n项和Tn .
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