Question

【题目】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB= ．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则 的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，
连接AQ、BQ
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos =a2+b2+ab，
配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（ ）2 ，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（ ）2= （a+b）2
得到|AB|≥ （a+b）．
所以 ≤ = ，即 的最大值为 ．
故选C．

设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得 的最大值．