Question

已知定义在R上的函数f（x）=（sinωx+acosωx）（a∈R，0＜ω≤1）满足：f（x）=f（-x），f（x-π）=f（x+π）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若m²-4n＞0，m，n∈R，求证：“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-，）内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=（sinωx+acosωx）=sin（ωx+?），其中sin?=，cos?=，
由f（x-π）=f（x+π）知f（x）=f（x+2π），即函数f（x）的周期为2π．
∴≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ω=1．
又∵f（x）=f（-x），∴f（0）=f（），
即 （sin0+acos0）=（sin+acos），解得 a=，∴f（x）=sin（x+）．
（II）显然，x∈（-，）等价于x+∈（-，）．
令u=x+，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，则f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1得|m+n|≤|m|+|n|＜1，∴m+n＞-1．
同理由|m-n|≤|m|+|n|＜1得m-n＜1．
∴g（1）=m+n+1＞0，g（-1）=1-m+n＞0．
又∵|m|≤|m|+|n|＜1，∴-∈（-1，1）．
又∵△=m²-4n＞0，∴一元二次方程t²+mt+n=0在区间（-1，1）内有两个不等的实根．
∵函数y=sinu（u∈（-，））与u=x+（x∈（-，））都是增函数，
∴[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-，）内有两个不等实根．
∴“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-，）内有两个不等实根”的充分条件．
令m=，n=，由于方程t²+t+=0有两个不等的实根-，-，且-，-∈（-1，1），
∴方程sin²（x+）+sin（x+）+=0在（-，）内有两个不等的实根，
但|m|+|n|=+=1，
故“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-，）内有两个不等实根”的必要条件．
综上，“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-，）内有两个不等实根”的充分不必要条件．
分析：（I）利用辅助角公式化简函数的表达式为Asin（ωx+?），利用f（x-π）=f（x+π），求出函数的周期，通过周期公式求出ω，通过f（x）=f（-x），令x=0，得到f（0）=f（），求出a，即可求f（x）的解析式；
（II）通过x∈（-，），求出x+∈（-，）．令u=x+，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，则f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1推出-∈（-1，1）．利用△＞0，说明一元二次方程t²+mt+n=0在区间（-1，1）内有两个不等的实根．
结合函数y=sinu（u∈（-，））与u=x+（x∈（-，））都是增函数，推出所证的充分条件．
通过m=，n=，说明“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-，）内有两个不等实根”的必要条件．
点评：本题考查三角函数的化简，解析式的求法，以及充分条件与必要条件的证明，方程的根的知识，考查转化思想，计算能力，反例证明问题的应用．