Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A-BCED的体积为16．

（1）求实数a的值；
（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A-BCED的体积为16，求实数a的值；
（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=

4 2

3

，求出圆锥底面周长为C=2π•

4 2

3

=

8 2 π

3

，两个圆锥的母线长分别为4

2

和2，即可求该旋转体的表面积．

解答： 解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，
体积V=

1

3

•4•

(a+4)×4

2

=16，
解得a=2；
（2）在RT△ABD中，AB=4

2

，BD=2，AD=6，
过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=

4 2

3

，
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH=

4 2

3

，
所以圆锥底面周长为C=2π•

4 2

3

=

8 2 π

3

，两个圆锥的母线长分别为4

2

和2，
故该旋转体的表面积为S=

1

2

×

8 2 π

3

(2+4

2

)=

(32+8 2 )π

3

．

点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．