Question

已知

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx-sinx），f（x）=

m

•

n

+|

m

|，x∈（

5π

12

，π]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=-1，a=c=2，求

AB

•

BC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求出函数f（x）的表达式，利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出函数的最大值；
（Ⅱ）利用f（B）=-1求出B的值，a=c=2，然后直接求

AB

•

BC

．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx-sinx）
∴f（x）=

m

•

n

+|

m

|=cos²x+sinx（2

3

cosx-sinx）+1=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1．…4分
∵x∈（

5π

12

，π]，∴π＜2x+

π

6

≤

13

6

π?-1≤sin（2x+

π

6

）≤

1

2

，
∴f（x）max=f（π）=2．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（B）=2sin（2x+

π

6

）+1=-1，∴sin（2B+

π

6

）=-1，
而π＜2B+

π

6

≤

13

6

π，∴2B+

π

6

=

3π

2

?B=

2π

3

．…9分
又a=c=2，∴

AB

•

BC

=accos（π-B）=2×2cos

π

3

=2．…12分．

点评：本题是中档题，考查向量的数量积的求法，三角函数的化简求值，最值的应用，考查计算能力．