Question

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a，当a＜b时，a⊕b=b²．已知函数f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2），若对任意x∈[-3，2]，f（x）≥-5恒成立，则实数m的取值范围是

 

（“•”“-”仍为通常的乘法与减法）

Answer 1

分析：由已知中，新运算“⊕”的定义：当a≥b时，a⊕b=a，当a＜b时，a⊕b=b²．结合x∈[-3，2]，我们要分类讨论，即将区间[-3，2]，分为[-3，m]，（m，2），{2}三种情况进行讨论，分别求出满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：当x=2时，
f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）=8-4=4
对任意m＜2均成立；
当x∈[-3，2）时，若x∈[-3，m]，
则f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2）
=2x-m，
若f（x）≥-5恒成立，则-6-m≥-5，解得m≤-1
若x∈（m，2），
则f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2）
=2x-x²，
若f（x）≥-5恒成立，若f（x）≥-5恒成立，则2m-m²≥-5
即1-

6

≤m≤1+

6

综上实数m的取值范围是 [1-

6

，-1]
故答案为：[1-

6

，-1]

点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，解答的关键是根据新定义，计算出函数f（x）在各段上的最小值．