Question

1．函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e^x•f（x）＞2e^x+e的解集为（　　）

• A． {x|x＜1}
• B． {x|x＞1}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|x＜-1或0＜x＜1}

Answer 1

分析 令g（x）=e^xf（x）-2e^x-e，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-2e^x-e，
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＜2，
∴f（x）+f′（x）-2＜0，
∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，
又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）-2e-e=0，
故当x＜1时，g（x）＞g（1），
即e^xf（x）-2e^x-e＞0，整理得e^xf（x）＞2e^x+e，
∴e^xf（x）＞2e^x+e的解集为{x|x＜1}．
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．