Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜ （n∈N* ， e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，

∴a=0，验证知a=0符合条件

（2）解：∵

①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；

②若 得，当a≤﹣1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，

∴f（x）在R上单调递减．

③若﹣1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0

∴

再令f'（x）＜0，可得

∴ 上单调递增，

在

综上所述，若a≤﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；

若﹣1＜a＜0时， 上单调递增 上单调递减；

若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减

（3）解：由（2）知，当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减

当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0

∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+ ）（1+ ）…（1+ ）]=ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）

＜ + +…+ = = （1﹣ ）＜ ，∴（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜ =

【解析】（1）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；（2）分三种情况：a=0；a≤﹣1；﹣1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（3）由（2）知当a=﹣1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．