Question

【题目】已知函数，满足.设为上任一点,过作的切线,其斜率满足

（1）求函数的解析式；

（2）若数列满足.设为正常数.

①求；

②若不等式对任意的恒成立，则实数是否存在最大值?若存在,请求出这个值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ①；② 的最大值为.

【解析】

(1)求出，结合其单调性，根据已知条件，求得即，进而可求的值.

(2) ①由题意知，可证明是以为首项，为公比的等比数列，从而可求.

②结合导数判断出，从而，即可求出 的值.

(1)解：由题意知，是切点.

，.

，， 即.

，在单调递增，.

由题意知，,.

，所以，故.

(2) ①解:由题意知,.

，，

则，

.

，

是以为首项， 为公比的等比数列.

，.

②证明:因为不等式对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立.

设，，

则，.

设.

当 为奇数时，，，

.

当为偶数时，，

，，

综上所述， 即 的最大值为.