Question

数列{a_n}中，a₁=8,a₄=2,且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0(n∈N^*）.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=(n∈N^*),S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:(1)∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0,

    ∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n(n∈N^*).

 

    ∴{a_n}是等差数列.设公差为d，

    又a₁=8,a₄=a₁+3d=8+3d=2,

    ∴d=-2.

    ∴a_n=-2n+10.

    (2)b_n==

    =(-),

    ∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=［(1-)+(-)+…+(-)］

    =(1-)=.

    假设存在整数m满足S_n＞总成立.

    又S_n+1-S_n=-

    =＞0,

    ∴数列{S_n}是单调递增的.

    ∴S₁=为S_n的最小值，故＜,

    即m＜8.

    又m∈N^*,

    ∴适合条件的m的最大值为7.