Question

如图，已知曲线C：y=

1

x

在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次得到一系列点P₁、P₂、…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面积S△OPnPn+1
（Ⅲ）设直线OP_n的斜率为k_n，求数列{nk_n}的前n项和S_n，并证明Sn＜

4

9

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到x_n+1与x_n的关系，利用等比数列的通项公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及（Ⅰ）的结论即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论即可求出nk_n，再利用“错位相减法”即可求出S_n，进而证明结论．

解答：解：（Ⅰ）∵y′=-

1

x2

，∴f^′（1）=-1，
∴曲线C：y=

1

x

在点P（1，1）处的切线为y-1=-（x-1），
令y=0，则x=2，∴Q₁（2，0），∴P1(2，

1

2

)，∴x₁=2．
则过点Pn(xn，

1

xn

)的切线斜率为-

1

x 2 n

，其方程为y-

1

xn

=-

1

x 2 n

(x-xn)，
令y=0，得到x=2x_n，∴Q_n+1（2x_n，0），即x_n+1=2x_n，∴

xn+1

xn

=2．
∴数列{x_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴xn=2×2n-1=2n．
（Ⅱ）∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=

1

2

xnyn+

yn+yn+1

2

(xn+1-xn)-

1

2

xn+1yn+1
=

1

2

(

1

xn

+

1

xn+1

)(xn+1-xn)=

1

2

(

1

2n

+

1

2n+1

)(2n+1-2n)=

3

4

．
（Ⅲ）证明：由（1）可知：k_n=

yn

xn

=

1

x 2 n

=

1

(2n)2

=

1

4n

，∴nk_n=

n

4n

．
∴S_n=

1

41

+

2

42

+

3

43

+…+

n-1

4n-1

+

n

4n

，
4S_n=1+

2

41

+

3

42

+…+

n

4n-1

，
两式相减得3S_n═1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n

4n

=

1- 1 4n

1- 1 4

-

n

4n

，
∴S_n=

4

9

-

1

9×4n-1

-

n

3×4n

＜

4

9

．
故Sn＜

4

9

成立．

点评：熟练掌握导数的几何意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”是解题的关键．