Question

【题目】在△ABC 内部取n 个点， 将△ABC剖分为若干个小三角形(每两个小三角形或者有一个公共顶点，或者有一条公共边，或者完全没有公共点，如图所示).现将点A 染红色， 点B 染蓝色，点C 染黑色，其余n 个点的每个点也任意染上红、蓝、黑三色之一.我们称三个顶点的颜色恰为红、蓝、黑的小三角形为“特征三角形”.证明：至少有一个小三角形是特征三角形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设在△ABC 内部的红蓝边(即一端点为红点, 一端点为蓝点的边)有条, 又设三个顶点颜色不同(红、蓝、黑各一个)的特征三角形共有个, 三顶点分别为红、红、蓝或蓝、蓝、红的小三角形共有个, 其余的小三角形(如顶点颜色为红、红、黑;红、红、红;蓝、蓝、黑;蓝、蓝、蓝;黑、黑、黑;黑、黑、红;黑、黑、蓝等)共个.

我们统计每个小三角形红蓝边的条数, 再把它们加起来, 总和数为.

从另一角度看, 由于每一条在大三角形的内部的红蓝边都为两个小三角形的公共边, 即被统计两次, 而大△ABC 的一条红蓝边只属于一个小三角形, 只计数一次.所以, 总和数为.因此，.

从而，是个奇数.

因此, 三个顶点的颜色全不相同的特征三角形个数p 是奇数, p 最少是1.也就是说至少有一个小三角形是特征三角形.