Question

（2014•广东模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若PC=

2

BC，求二面角E-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的定义，得到PD⊥AC，在正方形ABCD中，证出BD⊥AC，根据线面垂直判定定理证出AC⊥平面PBD，从而得到AC⊥DE；
（2）建立空间直角坐标系，如图所示．得D、A、C、P、E的坐标，从而得到

CA

、

CP

、

CE

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出

u

=（1，1，1）是平面ACP的一个法向量，

v

=（-1，1，1）是平面ACE的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角E-AC-P的余弦值．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，∴AC⊥平面PBD
∵DE?平面PBD，∴AC⊥BD
（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设BC=3，则CP=3

2

，DP=3，结合2BE=EP可得
D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），
E（1，2，2）
∴

CA

=（0，3，-3），

CP

=（3，0，-3），

CE

=（1，2，-1）
设平面ACP的一个法向量为

u

=（x，y，z），可得

u • CA =3y-3z=0 u • CP =3x-3z=0

，取x=1得

u

=（1，1，1）
同理求得平面ACE的一个法向量为

v

=（-1，1，1）
∵cos＜

u

，

v

＞=

u • v

|u| • |v|

=

1

3

，∴二面角E-AC-P的余弦值等于

1

3

点评：本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间线面垂直的定义与判定、空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识，属于中档题．