我们用部分自然数构造如下的数表:用aij表示第i行第j个数.使ail=aii=i ,每行中的其余各数分别等于其“肩膀上的两个数之和.设第n行中各数之和为bn． (1)试写出b2一2b1,.b3-2b2.b4-2b3,b5-2b4.并推测bn+1和bn的关系, (2)证明数列{bn+2}是等比数列.并求数列{bn}的通项公式bn, (3)数列{ bn}中是否存在不同� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

我们用部分自然数构造如下的数表：用a_ij(i≥j)表示第i行第j个数(i、j为正整数)，使a_il=a_ii=i ；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第n(n为正整数)行中各数之和为b_n．

（1）试写出b₂一2b₁；，b₃-2b₂，b₄-2b₃,b₅-2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系(无需证明)；

（2）证明数列{b_n+2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；

（3）数列{ b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r(p，q，r为正整数)恰好成等差数列?若存在求出P，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

（1）b_n+1-2 b_n=2（2）b_n =3×2^n-1-2（3）不存在

解析:

（1）b_l=1,；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46：

可见：b₂-2 b_l=2；b₃-2 b₂=2；b₄-2 b₃=2；b₅-2 b₄=2

猜测：b_n+1-2 b_n=2 (或b_n+1=2 b_n+2或b_n+1- b_n=3×2^n-1)

（2）由（1）

所以{b_n+2}，是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，

∴ b_n+2=3×2^n-1 ,即b_n =3×2^n-1-2。。-

(注：若考虑，且不讨论n=1，扣1分)

（3）若数列{ b_n }中存在不同的三项b_p, b_q _, b_r(p,q,r∈N)恰好成等差数列，不妨设p>q>r,显然，{ b_n }是递增数列，则2 b_q= b_p, + b_r

即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2）,于是2×2^q-r=2^q-r+1

由p,q,r∈N且p>q>r知，q-r≥1，p-r≥2

∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p_，b_q_，b_r(p,q,r∈N)恰好成等差数列--

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（Ⅰ）试写出b₂-2b₁，b₃-2b₂，b₄-2b₃，b₅-2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系（无需证明）；
（Ⅱ）证明数列{b_n+2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出p、q、r的关系；若不存在，请说明理由．

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