Question

已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n为正整数），则m+n的值为

 

．

Answer 1

分析：p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c₂=（p+1）²（q+1）-1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）⁸（p+1）¹³-1，故可得结论．

解答：解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，
因为c＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1，
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1，
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1，
故经过6次扩充，所得数为：（q+1）⁸（p+1）¹³-1，
因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n为正整数），
所以m=8，n=13，
所以m+n=21．
故答案为：21．

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．