Question

椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0），其右焦点F₂（1，0），右准线为x=2，斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点，并且和椭圆相交于M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

OM

+

ON

=

OP

，问点P能否落在椭圆C的外部，如果会，求出斜率k的取值范围；不会，说明理由；
（3）直线l与右准线交于点A（x_A，y_A），且y_A＞0，又有

MF2

=λ

F2N

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件c=1，

a2

c

=2，a2=b2+c2，可得a，b的值，最后写出椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用点P在椭圆的外部即可求得k值取值范围，从而解决问题．
（3）根据向量条件

MF2

=λ

F2N

，得出y₁与y₂的关系式，利用根与系数的关系得出k与λ的等式，由k＞0，得出关于λ的不等关系，解得λ的取值范围．

解答：解：（1）由条件c=1，

a2

c

=2，a2=b2+c2，
可得a²=2，b²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设直线l：y=k（x-1），联立椭圆方程

x2

2

+y2=1，
消去x，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，①
消去y，可得（2k²+1）y²+2ky-k²=0，②
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点P（x₁+x₂，y₁+y₂），
由根与系数的关系，得：
x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，y₁+y₂=

-2k

2k2+1

．
∴P(

4k2

2k2+1

，

-2k

2k2+1

)，
如果点P在椭圆的外部，则有

( 4k2 2k2+1 )2

2

+(

2k

2k2+1

)2＞1，
解得，k＞

2

2

，k＜-

2

2

．
所以，当k＞

2

2

，k＜-

2

2

时，点P在椭圆的外部
（3）根据条件，y_A=k＞0，又

MF2

=λ

F2N

，
所以，y₁=-λy₂
由方程②中根与系数的关系得：
y1+y2=(1-λ)y2=

-2k

2k2+1

…(1)，
y1y2=-λ

y

2 2

=

-k2

2k2+1

…(2)，
由（1）²÷（2）整理得

(1-λ)2

λ

=

4

2k2+1

，
由k＞0，0＜

(1-λ)2

λ

＜4，
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

，且λ≠1．即为λ的取值范围．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．