Question

(本题满分14分) 
已知函数处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） ．（Ⅱ）．

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用已知条件得到参数关系式得到解析式，以及根据函数的递增性质，得到参数的范围。以及直线与曲线相切的直线斜率的范围。
（1）根据函数处取得极值为2．，那么求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，则可知导函数在给定区间恒大于等于零，分离参数的思想得到，实数m的取值范围；
（Ⅲ）因为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，利用导数的几何意义得到，直线l的斜率的取值范围．
解：（Ⅰ）已知函数，∴
又函数处取值极值2，   ∴
即      ∴ ．     …………………… 5分
（Ⅱ）∵，得
所以的单调增区间为[，1]．
因函数上单调递增，       则有，
解得上为增函数．  ………………… 9分
（Ⅲ）∵，∴．
直线l的斜率,
即, 则
从而得k的取值范围是．                    ……………………… 14分