Question

12．已知f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=-x²+x+1，则f（x）的解析式是f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由题意得f（0）=0，由x＞0时f（x）的解析式，结合函数的奇偶性求出x＜0时f（x）的解析式即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0；
又x＞0时，f（x）=-x²+x+1，
∴x＜0时，-x＞0；
∴f（-x）=-（-x）²+（-x）+1=-x²-x+1，
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=x²+x-1；
综上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的问题，解题时应注意题目中定义在R上的奇函数即f（0）=0，是基础题．