【题目】已知函数为的导函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在上存在最大值0,求函数在[0,+∞)上的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先求导,再分类讨论,即可求出g(x)的单调区间,(2)由(1)可知,a>0且 g(x)在 x=﹣lna处取得最大值,即构造函数 h(a)=a﹣lna﹣1(a>0),根据导数求出函数的最值,可知f(x)在[0,+∞)上单调递减,即可求解最大值
(1)由题意可知,g(x)=f'(x)=x+a﹣aex,则g'(x)=1﹣aex,
当a≤0时,g'(x)>0,∴g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,解得x<﹣lna时,g'(x)>0,x>﹣lna时,g'(x)<0
∴g(x)在(﹣∞,﹣lna)上单调递增,在(﹣lna,+∞)上单调递减
综上,当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),无递减区间;
当a>0时,g(x)的单调递增区间为 (﹣∞,﹣lna),单调递减区间为(﹣lna,+∞).
(2)由(1)可知,a>0且 g(x)在 x=﹣lna处取得最大值,
,即a﹣lna﹣1=0,
观察可得当a=1时,方程成立
令 h(a)=a﹣lna﹣1(a>0),
当 a∈(0,1)时,h'(a)<0,当a∈(1,+∞)时,h'(a)>0
∴h(a)在(0,1)上单调递减,在 (1,+∞)单调递增,
∴h(a)≥h(1)=0,
∴当且仅当a=1时,a﹣lna﹣1=0,
∴,由题意可知 f'(x)=g(x)≤0,f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在x=0处取得最大值f(0)=﹣1
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【题目】2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将 2013 年编号为 1,2014 年编号为 2,…,2018年编号为 6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线,其相关指数,给出下列结论,其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直. ,,.
(1)求证:;
(2)求证:平面平面;
(3)线段上是否存在点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,∠C=,AC=BC,M、N分别是BC、AB的中点,将△BMN沿直线MN折起,使二面角B′﹣MN﹣B的大小为,则B'N与平面ABC所成角的正切值是( )
A. B. C. D.
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【题目】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线,它由德国机械工程专家,机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,现在勒洛三角形中随机取一点,则此点取自正三角形外的概率为( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知函数.
(1)若函数与的图象上存在关于原点对称的点,求实数的取值范围;
(2)设,已知在上存在两个极值点,且,求证:(其中为自然对数的底数).
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