Question

6．网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为 $\sqrt{3}$，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，由此能求出这个几何体的外接球的半径R，从而能求出这个几何体的外接球的表面积．

解答 解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为 $\sqrt{3}$，
底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，
且是等边三角形PAC的中心，
这个几何体的外接球的半径R=$\frac{2}{3}$PD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR²=4π×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．