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6.网格纸的各小格都是边长为1的正方形,图中粗实线画出的是一个几何体的三视图,其中正视图是正三角形,则该几何体的外接球表面积为(  )
A.$\frac{π}{3}$B.$\frac{2π}{3}$C.$\frac{4π}{3}$D.$\frac{16π}{3}$

分析 该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为 $\sqrt{3}$,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,由此能求出这个几何体的外接球的半径R,从而能求出这个几何体的外接球的表面积.

解答 解:由已知中正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形,
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为 $\sqrt{3}$,
底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图.
则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,
且是等边三角形PAC的中心,
这个几何体的外接球的半径R=$\frac{2}{3}$PD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×($\frac{2\sqrt{3}}{3}$)2=$\frac{16π}{3}$.
故选:D.

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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