Question

关于二项式（x-1）²⁰⁰⁶，有下列三个命题：
①该二项式展开式中非常数项的系数和是-1； 
②该二项式展开式中第10项是

C

10 2006

x1996；
③当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁶除以2006的余数是2005．
其中正确命题的序号是

①、③

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：①令x=1可得所有项的系数和为0，常数项

C

2006 2006

(-1)2006=1，可判断①
②该二项式展开式中第10项T10=

C

9 2006

x1997(-1)9=-

C

9 2006

x1997
③当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁶=

C

0 2006

•20062006-

C

1 2006

•20062005+…

- C 2005 2006 •2006+C

2006 2006

，结合展开式可判断

解答：解；在二项式（x-1）²⁰⁰⁶中，令x=1可得所有项的系数和为0
①该二项式展开式中常数项

C

2006 2006

(-1)2006=1，则可得非常数项的系数和是-1； 故①正确
②该二项式展开式中第10项T10=

C

9 2006

x1997(-1)9=-

C

9 2006

x1997，故②错误
③当x=2006时，（x-1）²⁰⁰⁶=

C

0 2006

•20062006-

C

1 2006

•20062005+…

- C 2005 2006 •2006+C

2006 2006

，则以2006的余数是2005．故③正确
故答案为：①③

点评：本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的系数之和及二项展开式的通项的简单应用．