Question

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．
解答：解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，
则圆心到直线l：x-y+3=0的距离，
由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，
解得a=1或a=-3，
又a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（1）知圆C：（x-1）²+（y-2）²=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2
由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3）
由圆心到切线的距离d==r=2，
化简得：12k=5，可解得，
∴切线方程为5x-12y+45=0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．
由①②可知切线方程为5x-12y+45=0或x=3．
点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．