分析 (1)建立空间直角坐标系C-XYZ,求出平面COB1的一个法向量,证明$\overrightarrow{A{C_1}}⊥\overrightarrow n$,推出AC1∥平面COB1
(2)求出平面ABC1的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=({4,3,3})$,平面BCC1的一个法向量,设二面角A-BC1-C为θ,利用向量的数量积求解二面角 A-BC1-C的正切值.
解答 解:由AB是⊙o直径,可知AC⊥BC,故由AC=3,AB=5
可得:BC=4,以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C-XYZ(如图)
则$A({3,0,0}),B({0,4,0}),{C_1}({0,0,4}),O({\frac{3}{2},2,0}),{B_1}({0,4,4})$
(1)由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CO}=({\frac{3}{2},2,0})}\\{\overrightarrow{C{B_1}}=({0,4,4})}\end{array}}\right.$,可得平面COB1的一个法向量$\overrightarrow n=({4,-3,3})$
又$\overrightarrow{A{C_1}}=({-3,0,4})$,
∴$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow n=-3×4+0×(-3)+4×3=0$,
∴$\overrightarrow{A{C_1}}⊥\overrightarrow n$
又AC1?平面COB1
∴AC1∥平面COB1
(2)由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{B{C_1}}=({0,-4,4})}\\{\overrightarrow{BA}=({3,-4,0})}\end{array}}\right.$,可得平面ABC1的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=({4,3,3})$,
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{B{C_1}}=({0,-4,4})}\\{\overrightarrow{BC}=({0,-4,0})}\end{array}}\right.$,可得平面BCC1的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=({1,0,0})$
设二面角A-BC1-C为θ,则$cosθ=cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{\left|{\left.{\overrightarrow{n_1}}\right|}\right.\left|{\left.{\overrightarrow{n_2}}\right|}\right.}}=\frac{4}{{\sqrt{34}}}$
$sinθ=\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{34}}}$,$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$.
即二面角 A-BC1-C的正切值为:$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
点评 本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{x=3x′}\\{y=\frac{1}{2}y′}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$ | C. | $\left\{\begin{array}{l}{x=3x′}\\{y=2y′′}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$ |
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A. | 20+$\sqrt{5}$π | B. | 24+$\sqrt{5}$π | C. | 20+($\sqrt{5}$+1)π | D. | 24+($\sqrt{5}$-1)π |
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A. | -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | B. | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | C. | -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ |
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