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3.已知函数$f(x)={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{1}{2}(ω>0)$的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.

分析 (1)利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性得出结论.
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得到g(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性求得函数g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.

解答 解:(1)$f(x)={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{1}{2}(ω>0)$=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$=$sin(2ωx-\frac{π}{6})$.
因为函数f(x)的最小正周期为π,所以$\frac{2π}{2ω}=π$,得ω=1.
(2)由(1)可得,f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$),把函数y=f(x)的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后,
得到y=g(x)=sin[2(x+$\frac{π}{6}$)-$\frac{π}{6}$]=sin(2x+$\frac{π}{6}$)的图象.
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ,k∈Z$.
当k=0时,$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$;
当k=1时,$\frac{2π}{3}≤x≤\frac{7π}{6}$.
所以函数g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为$[0,\frac{π}{6}],[\frac{2π}{3},π]$.

点评 本题主要考查三角恒等变换,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的周期性、单调性,属于中档题.

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