【题目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,点在线段上.
(Ⅰ)若为的中点,求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)证明:存在点,使得平面,并求的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)设,根据平面几何知识得为平行四边形,即得,再根据线面平行判定定理得结果,(Ⅱ)建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面的一个法向量,根据向量数量积得法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果,(Ⅲ)设,根据题意得与平面法向量,列式可得M坐标,代入即得的值.
(Ⅰ)设,连结,
因为正方形,所以为中点
又矩形,为的中点
所以且
所以为平行四边形
所以
又平面,平面
所以平面
(Ⅱ)以为原点,分别以为轴建立坐标系
则
设平面的法向量为,
由得
则
易知平面的法向量
由图可知二面角为锐角
所以二面角的余弦值为
(Ⅲ)设,则
若平面,则,即
所以解得所以
所以
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:,其中,点是椭圆的右顶点,射线:与椭圆的交点为.
(1)求点的坐标;
(2)设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为、,当的值在区间中变化时,求的取值范围;
(3)在(2)的条件下,以为焦点,为顶点且开口方向向左的抛物线过点,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,对于点,若函数满足:,都有,就称这个函数是点的“限定函数”.以下函数:①,②,③,④,其中是原点的“限定函数”的序号是______.已知点在函数的图象上,若函数是点的“限定函数”,则的取值范围是______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表:
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(Ⅰ)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量(千件)与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量;
(Ⅱ)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间 (百分比) | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) | [11,13) |
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知方程的曲线是圆C,
(1)若直线l:与圆C相交于M、N两点,且(O为坐标原点),求实数m的值;
(2)当时,设T为直线n:上的动点,过T作圆C的两条切线TG、TH,切点分别为G、H,求四边形TGCH而积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知空间几何体中,与均为边长为的等边三角形,为腰长为的等腰三角形,平面平面,平面平面.
(1)试在平面内作一条直线,使直线上任意一点与的连线均与平面平行,并给出详细证明
(2)求点到平面的距离
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点P(x0,4)在抛物线C上,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)动直线l:x=my+1(mR)与抛物线C相交于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点D(t,0)(其中t≠0),使得kAD+kBD=0,(kAD,kBD分别为直线AD,BD的斜率)若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三角形ABC为直角三角形,且,,E,F分别为AB,AC的中点,G,H分别为BE,AF的中点(如图一),现在沿EF将三角形AEF折起至,连接,,GH(如图二).
(1)证明:平面;
(2)当平面平面EFCB时,求异面直线GH与EF所成角的余弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com