Question

在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5 km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h.问此人能否追上小船?若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

Answer 1

思路解析：不妨画一个图形，如图所示.将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型.设船速为v，显然v≥4 km/h时人不可能追上小船，当0≤v≤2 km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2＜v＜4的情况.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.

解：设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为kt(0＜k＜1)，则人在水中游的时间为(1-k)t，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

∵|OA|=4kt,|AB|=2(1-k)t,|OB|=vt,

由余弦定理得|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos15°,

即4(1-k)²t²=(4kt)²+(vt)²-2·4kt·vt·,

整理得12k²-［2()v-8］k+v²-4=0.

要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有0＜＜1且Δ=［2()v-8］²-4·12·(v²-4)≥0.

解得2＜v≤2,即v_max=2 km/h.

故当船速在（2,2]内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为2 km/h，由此可见当船速为2.5 km/h时，人可以追上小船.