Question

已知定义在区间[-

π

2

，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，当x≥

π

4

时，函数f（x）=sinx．
（Ⅰ）求f(-

π

2

)，f(-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的函数表达式；
（Ⅲ）如果关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M_a，求M_a的所有可能取值及相对应的a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中定义在区间[-

π

2

，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，我们易得f(-

π

2

)=f(π)，f(-

π

4

)=f(

3

4

π)，结合当x≥

π

4

时，函数f（x）=sinx，即可求出答案．
（II）根据已知中在区间[-

π

2

，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，当x≥

π

4

时，函数f（x）=sinx．我们可根据函数图象对称变换法则求出函数在区间[-

π

2

，

π

4

]上的解析式，进而得到y=f（x）的函数表达式；
（Ⅲ）作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M_a，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f(-

π

2

)=f(π)=sinπ=0
f(-

π

4

)=f(

3

4

π)=sin

3

4

π=

2

2

…（4分）
（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，
又∵当x≥

π

4

时，函数f（x）=sinx．
∴当-

π

2

≤x＜

π

4

时，
f(x)=f(

π

2

-x)=sin(

π

2

-x)=cosx
f（x）=

sinx，x∈[ π 4 ，π) cosx，x∈[- π 2 π 4 )

…（8分）
（Ⅲ）作函数f（x）的图象（如图），显然，若f（x）=a有解，则a∈[0，1]
①0≤a＜

2

2

，f（x）=a有解，M_a=

π

2

②a=

2

2

，f（x）=a有三解，M_a=

3

4

π
③

2

2

＜a＜1，f（x）=a有四解，M_a=π
④a=1，f（x）=a有两解，M_a=

π

2

…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法--图象变换法，根的存在性及根的个数的判断，其中根据已知函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，当x≥

π

4

时，函数f（x）=sinx．根据对称变换法则，求出函数的解析式是解答本题的关键．