Question

已知某二次函数f（x）图象过原点，且经过（-1，-5）和（2，4）两点，
（Ⅰ）试求f（x）函数的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在区间[3，7]上的单调性，并用单调函数的定义进行证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（x）过原点，设f（x）=ax²+bx，
由题意，图象经过（-1，-5）和（2，4）两点∴
解得：f（x）=-x²+4x
（Ⅱ）函数f（x）在[3，7]上为单调递减函数
证明：任取x₁＜x₂∈[3，7]f（x₁）-f（x₂）=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂）=（x₂²-x₁²）+（4x₁-4x₂）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₁-x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）x₁＜x₂∈[3，7]，x₂+x₁＞6，x₂-x₁＞0∴（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）＞f（x₂），而x₁＜x₂∈[3，7]∴函数f（x）在[3，7]上为单调递减函数
分析：（Ⅰ）求f（x）函数的解析式，由于函数性质已知故可用待定系数法设出其解析式，再代入（-1，-5）和（2，4）两点，求参数．
（Ⅱ）判断f（x）在区间[3，7]上的单调性，并用单调函数的定义进行证明，故此题解题过程是先判断再证明，由二次函数的性质判断出结果再利用定义法证明即可．
点评：本题考查待定系数法求函数的解析式及利用定义证明函数的单调性，是函数中对性质考查的基本题型，尤其是第二问要注意解题的格式，先判断，再证明．