Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x₂=x₁+x₃．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求证：△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，欲证函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数，只须证明其导数f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）先设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，欲证：△ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明：

BA

•

BC

＜0即得；
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|

BA

|=|

BC

|，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则△ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则△ABC能是等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，∴f′(x)=

aex

1+ex

-(a+1)=

-(a+1)-ex

1+ex

＜0恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（Ⅱ）证明：据题意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（Ⅰ）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=

x1+x3

2

（4分）
可得A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三点不共线
（反证法：否则2ex2=ex1+ex3≥2

ex1+x3

=2ex2，得x₁=x₃）
∴

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2)
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]（6分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

•

BC

＜0，∴∠B∈(

π

2

，π)
即△ABC是钝角三角形（8分）
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|

BA

|=|

BC

|
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²∵x₂-x₁=x₃-x₂∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
即2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃）?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2?2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)?(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)?e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事实上，ex1+ex3≥2

ex1+x3

=2ex2②
由于ex1＜ex3，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、数量积表示两个向量的夹角、两点间距离公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．