Question

19．设函数f（x）是定义在R上的函数，对定义域内的任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（-1）=2．当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在x∈[-3，5]时的最大值和最小值；
（3）若f（m）+$\frac{1}{2}$f（9）＞$\frac{1}{2}$f（m²）+f（3），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法求f（0）的值，即可判断f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数单调性，根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论；
（3）利用f（m）+$\frac{1}{2}$f（9）＞$\frac{1}{2}$f（m²）+f（3），可得f（2m+9）＞f（m²+6），根据f（x）在R上是减函数，即可得出结论．

解答 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函数；
（2）设x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
则y=x₁-x₂＞0，
∴f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x）在R上是减函数；
∵f（-3）=3f（-1）=6，f（5）=5f（1）=-10，
∴最大值为f（-3）=6，最小值为f（5）=-10；
（3）∵f（m）+$\frac{1}{2}$f（9）＞$\frac{1}{2}$f（m²）+f（3），
∴2f（m）+f（9）＞f（m²）+2f（3），
∴f（2m+9）＞f（m²+6），
∵f（x）在R上是减函数，
∴2m+9＜m²+6，
∴m＜-1或m＞3．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据定义法和赋值法是解决抽象函数问题的基本方法．